Una gran cantidad de leyes en la Física, Química, Biología, Demografía, la Economía y las Ingenierías, entre otras ciencias tiene su expresión natural en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) o en derivadas parciales. La causa es simple, si un fenómeno se puede expresar mediante una o varias razones de cambio entre las variables implicadas entonces, correspondientemente, tenemos una o varias ecuaciones diferenciales.
Probablemente, el ejemplo más común y conocido de una ecuación diferencial proviene de la segunda Ley de Newton, esencial para el estudio de los fenómenos mecánicos según la visión y métodos de la formulación newtoniana de la mecánica. De forma análoga, con las herramientas de las EDO es posible investigar y responder interrogantes de muy diversa índole: ¿cómo crecerá la población de un país, o la producción de un determinado alimento?, ¿es posible medir el impacto de la publicidad y ayudar a los publicistas?, ¿qué trayectoria debe seguir un destructor para asegurar de que estará exactamente encima del submarino que pretende aniquilar, si conoce la velocidad de su objetivo?, conocida la trayectoria rectilínea de un futbolista que se dirige a la portería con el balón, ¿qué trayectoria debe seguir su contrario para interceptarlo y cuándo esto es posible?, ¿Por qué un reloj péndulo es impreciso?, ¿cómo construir un edifico antisísmico?, ¿cómo modelar los sucesos bélicos entre dos ejércitos, o entre un ejército y una guerrilla?, ¿cuál debe ser el régimen de pesca para no poner en peligro la especie capturada y lograr la mayor captura posible?…. Para enfrentar estas y muchas otras interrogantes es necesario conocer, entre otras herramientas, los métodos analíticos, numéricos y cualitativos de estudio de las EDO, además de otros recursos matemáticos y computacionales, y conocer cómo modelar los fenómenos estudiados.
El éxito de la modelación matemática exige del especialista encargado de esta tarea: su conocimiento del objeto o fenómeno modelado (sus leyes, principios, datos, etc.), un adecuado dominio de las herramientas matemáticas y computacionales a emplear, y mucha experiencia en el arte y la ciencia de la modelación. El desarrollo en los cursistas, y futuros profesionales, de la habilidad modelar es esencial para el logro del objetivo fundamental de la disciplina Matemática “…en proveer al físico de las herramientas matemáticas necesarias para operar profesionalmente y contribuir a formar los modos de actuación del físico”. Si atendemos, además, a lo expresado en el modelo del profesional del Plan de Estudio D: “El modo de actuación fundamental del Licenciado en Física es la investigación fundamental y/o aplicada…”, entonces podemos entender cuánto puede contribuir a la formación del físico esta asignatura, desde el punto de vista académico, al constituir una posibilidad para dotar al estudiante de herramientas operativas y prácticas, tales como las intelectuales relacionadas con la conceptualización y la formación de un pensamiento ordenado, riguroso, lógico y ético, producto de involucrarse en el proceso de modelación de situaciones o fenómenos de diversa índole y cercanos a su accionar profesional, que exige la profundización de sus conocimientos físicos, matemáticos, computacionales y de otras ramas de las ciencias.
La Optativa “Introducción a la Modelación mediante Ecuaciones Diferenciales Ordinarias”, ubicada en el cuarto semestre de la carrera de Licenciatura en Física, está precedida por las asignaturas Álgebra I y Análisis Matemático II (segundo semestre), y Álgebra II, Análisis Matemático III y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (tercer semestre), luego supone, por parte de los cursistas, el conocimiento y dominio básico de los conceptos, los principales resultados teóricos y prácticos, los métodos y herramientas de integración de las ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias habituales en tales cursos universitarios del currículo base (además comunes con las licenciaturas en Matemática, Ciencia de la Computación y la inmensa mayoría de las ingenierías), así como el método de integración por series de potencias de ecuaciones diferenciales lineales y su empleo en la integración de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes, así como los conocimientos de las técnicas del cálculo matricial, del cálculo de integrales impropias (para tratar las transformadas de Laplace), y cálculo diferencial de funciones de varias variables (para el tratamiento de la estabilidad para sistemas de ecuaciones diferenciales cuasilineales). Esta materia sirve de complemento a esta asignatura EDO, tiene un carácter eminentemente práctico – más del 65% – de actividades de este tipo, y requiere de nuestros estudiantes un trabajo independiente activo y sistemático.
La asignatura está constituida por 4 temas, en el que se abordan modelos fundamentalmente basados en ecuaciones diferenciales de primer orden, de orden superior, y sistemas de EDO, tratadas en el curso clásico de EDO, y en un último tema se abordan los sistemas no lineales y la estabilidad de sistemas lineales y casilineales.
El comportamiento de casi toda la materia en nuestro entorno cotidiano puede ser descrito en términos de dos tipos de fuerzas: la fuerza gravitacional y la fuerza electromagnética. Fuerzas adicionales resultan involucradas solo cuando se considera la acción de partículas en un rango muy cercano, tales como las partículas elementales dentro del núcleo atómico. El papel de las fuerzas gravitacionales nos es familiar. Todo el restante comportamiento de la materia ordinaria, desde el movimiento de cuerpos al colisionar hasta los motores eléctricos y las reacciones químicas, puede ser atribuido a fuerzas electromagnéticas. Cuando las fuerzas electromagnéticas ocurren a distancias atómicas, como en las reacciones químicas, los efectos son complicados y pueden ser calculados solo a lo sumo aproximadamente usando leyes de la mecánica cuántica o leyes empíricas. Sin embargo, para el movimiento de objetos que consisten de muchos átomos o para el movimiento de una simple partícula atómica interactuante a larga distancia con muchas partículas, los cálculos de los efectos de las fuerzas electromagnéticas resultan directos. El movimiento de partículas cargadas en un acelerador o en un magnetrón, el comportamiento de todos los tipos de máquinas eléctricas, la acción de un transmisor de radio sobre un receptor distante, todos siguen las leyes de la teoría que se estudiará en esta asignatura, una teoría llamada electromagnetismo clásico.
La teoría de los fenómenos electromagnéticos tiene una importancia extremadamente grande. Es la primera teoría invariante desde el punto de vista relativista. Desempeñó un papel decisivo en la aparición y argumentación de la teoría de la relatividad y fue aquel polígono en el que se sometieron a prueba muchas de las nuevas ideas. La electrodinámica cuántica es la teoría cuántica mejor elaborada, cuyas predicciones concuerdan muy bien con el experimento, pese a que todavía tiene contradicciones internas y se considera aún no acabada.
Es esencial la importancia del electromagnetismo desde el punto de vista de la filosofía general y de la concepción del mundo. Por ejemplo, en los márgenes de los fenómenos electromagnéticos se manifiestan de manera precisa las peculiaridades de la forma de campo de existencia de la materia, observándose bien las transformaciones mutuas de sus diversas formas y las modificaciones mutuas de las distintas formas de energía.
En el caso de la Mecánica Teórica I, se trata
de volver a la formulación newtoneana de la mecánica, pero utilizando un
aparato matemático más elaborado y complejo. En todos los casos predomina el método deductivo en la presentación de
los temas, en contraste con el método inductivo que caracteriza a la
disciplina de Física General. Además, se abordan algunos tópicos nuevos,
que por su extensión y complejidad no fueron impartidos a nivel de Física
General, como el estudio de la teoría de la elasticidad en sistemas que
corresponden a medios continuos.
En los diferentes temas se desarrollan habilidades prácticas a fin de poder plantear y resolver problemas concretos de Física, aplicando los métodos y teorías estudiadas, haciendo un uso amplio de la solución de Ecuaciones Diferenciales (tanto ordinarias como en derivadas parciales), los métodos del Cálculo Vectorial y Tensorial, el Álgebra Lineal, los Métodos de Análisis Numérico y la Computación.
Siempre que
sea posible y recomendable, se mencionan los aspectos históricos y filosóficos
de los distintos temas que se imparten, así como las aplicaciones modernas, en
particular las relacionadas con el Medio Ambiente.
Se muestran los detalles y documentos de la planificación del Periodo I (etapa presencial) [1/9/21-17/11/21] y del Período II [2/11/21-19/3/22] del curso 2021 en el segundo año de la carrera Física